Propiedades

El sumatorio (o sumatoria) es un operador matemático, representado por la letra griega sigma mayúscula (Σ) que permite representar de manera abreviada sumas con muchos sumandos, con un número indeterminado (representado por alguna letra) de ellos, o incluso con infinitos sumandos. Los sumandos de un sumatorio se expresan generalmente como una variable (habitualmente x, y, z, . . .) cuyos valores dependen de un índice (habitualmente i, j, k . . .) que toma valores enteros. El índice empieza tomando el valor que aparece en la parte inferior del sumatorio y se va incrementando en una unidad hasta llegar al valor que aparece en la parte superior del sumatorio. Así, por ejemplo: X 3 i=1 xi = x1 + x2 + x3

El índice del sumatorio puede tomar cualquier conjunto de números enteros, es decir, no tiene por qué empezar en 1, (aunque en las expresiones que aparecen a continuación casi siempre sea así para simplificar la notación). La única condición que se tiene que cumplir es que el primer valor del índice, el que aparece abajo, sea menor o igual que el ultimo valor del índice, el que aparece arriba. Es decir, en la suma Pn i=k xi k tiene que ser menor o igual que n para que la suma tenga sentido. Si k fuera mayor que n, por ejemplo, k = 5 y n = 3, estaríamos sumando los de x empezando en 5 hasta llegar a 3, es decir, no estaríamos sumando nada, y la suma sería igual a cero. Si queremos sumar los valores de x desde 3 hasta 5, deberemos tomar n = 5 y k = 3, es decir, hacer P5 i=3 xi.

Propiedades. El sumatorio es simplemente una manera abreviada de representar una suma, y por lo tanto, cumple todas las propiedades de ´esta:

Propiedad conmutativa: Xn i=1 (xi + yi) = x1 + y1 + x2 + y2 + . . . + xn + yn = y1 + x1 + y2 + x2 + . . . + yn + xn = Xn i=1 (yi + xi)

Propiedad asociativa: Xn i=1 (xi + yi) +Xn i=1 zi = x1 + y1 + x2 + y2 + . . . + xn + yn + z1 + z2 + . . . + zn = x1 + x2 + . . . + xn + y1 + z1 + y2 + z2 + . . . + yn + zn = Xn i=1 xi + Xn i=1 (yi + zi) = Xn i=1 (xi + yi + zi)

Propiedad distributiva: a · Xn i=1 xi = a · (x1 + x2 + .. + xn) = ax1 + ax2 + . . . + axn = Xn i=1 (axi), a ∈ R