Derivadas algebraicas

Derivadas algebraicas

Las derivadas algebraicas consisten en el estudio de la derivada en el caso particular de funciones algebraicas. El origen de la noción de derivada se remonta a la Antigua Grecia. El desarrollo de esta noción estuvo motivado por la necesidad de resolver dos problemas importantes, uno en física y otro en matemáticas.

En física, la derivada resuelve el problema de determinar la velocidad instantánea de un objeto en movimiento. En matemáticas, permite hallar la recta tangente a una curva en un punto dado.

La obtención de las derivadas de las funciones algebraicas a partir de su definición, en general de todas las funciones, sería algo tedioso y poco práctico. Por ello se han elaborado una serie de reglas que permiten hacer esto de manera mecánica.

Derivada de una constante

Establece que la derivada de una constante es cero. Es decir, si f(x)=c, entonces f’(x)=0. Por ejemplo, la derivada de la función constante 2 es igual a 0.

Derivada de una potencia

Si f(x)=xn, entonces f’(x)=nxn-1. Por ejemplo, la derivada de x3 es 3x2. Como consecuencia de esto, se obtiene que la derivada de la función identidad f(x)=x es f’(x)=1x1-1=x0=1.

Derivada de una suma y de una resta

Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces la suma f+g también lo es y se cumple que (f+g)’(x)=f’(x)+g’(x).

Análogamente se tiene que (f-g)’(x)=f’(x)-g’(x). En otras palabras, la derivada de una suma (resta), es la suma (o resta) de las derivadas(x)=x es f’(x)=1x1-1=x0=1.

Derivada de un producto

Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces el producto fg también es diferenciable en x y se cumple que (fg)’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x).

Como consecuencia se tiene que si c es una constante y f es una función diferenciable en x, entonces cf también es diferenciable en x y (cf)’(x)=cf’(X).

Derivada de un cociente

Si f y g son diferenciables en x y g(x)≠0, entonces f/g también es diferenciable en x, y se cumple que

Regla de la cadena

Esta regla permite derivar la composición de funciones. Establece lo siguiente: si y=f(u) es diferenciable en u, y u=g(x) es diferenciable en x, entonces la función compuesta f(g(x)) es diferenciable en x, y se cumple que [f(g(x))]’=f’(g(x))g’(x).

Es decir, la derivada de una función compuesta es el producto de la derivada de la función externa (derivada externa) por la derivada de la función interna (derivada interna).

Ejemplos:

Ejemplo 1. Resuelva la siguiente derivada

Solución:

Como se trata de una derivada con muchos términos de suma y resta, es posible hacer la derivada individual de cada término para que al final se junte y se entregue la respuesta completa de la derivada.

Para el primer término tenemos , podemos aplicar x^4 el caso 5 de nuestra tabla de reglas, quedando así:

Después tenemos 3x^2

Aplicando la propiedad de la regla 3 combinada con la 5, tenemos.

Por ahora nos queda realizar la siguiente derivada 2x^-3

Que al derivar obtenemos:

Finalmente nos queda el valor de 2, que al derivar tendríamos un cero, puesto que se trata de una constante.

Ahora ordenando los términos derivados.

Resultado:

Lo que vendría a ser nuestra derivada.

Ejemplo 2:

Resuelva la siguiente derivada

Solución:

Tenemos la derivada de un cociente, por lo tanto, recordemos que para un cociente tenemos que aplicar la siguiente fórmula:

Al seguir los pasos tenemos:

Ahora proseguimos a derivar donde está indicada la operación:

Seguimos simplificando

Con eso tendríamos nuestra derivada resuelta.

Resultado:

A continuación dejamos 2 videos explicativos del tema para reforzar lo que hemos aprendido.

Investigación elaborada por Daniel López Ramos y Daniela Paola Martínez Ramírez.

Videos Narrados por Abel Francisco Méndez Acuña y Mateo Muñoz Zurita.