Método de los trapecios

La regla del trapecio es un método de integración, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de una integral definida. La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal, que pasa a través de los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal.

La regla del trapecio consiste utilizar trapecios en lugar de rectángulos al hacer la aproximación del área bajo la curva.

El método de los trapecios es muy simple y se puede explicar fácilmente a partir de los siguientes ejemplos:

Calcula:

Calcular la anti derivada de esta función es posible a través de métodos de cálculo avanzado. Así que lo más recomendable por ahora es hacer una aproximación. Podemos hacer una primera aproximación ocupando rectángulos como hicimos en la lección Área bajo la curva. Pero podemos mejorar la solución si en lugar de dibujar rectángulos en su lugar utilizamos trapecios como se muestra enseguida:

Usando dos trapecios en el intervalo obtenemos los siguientes resultados: Igual, podemos aumentar el número de particiones y comparar los resultados.

Vamos a utilizar n=5 para hacer la comparación con la aproximación anterior (n=2).

Y las áreas de cada una de las particiones es:

Si ahora hacemos n=25 obtenemos una muy buena aproximación al valor real:

En la siguiente tabla se muestran las áreas de cada trapecio dibujado en la gráfica anterior, y la aproximación del área bajo la curva en este caso es: 0.34131 unidades de área.

Ejemplos 2:

Eligiendo un espaciado.

se divide el intervalo [a, b] por medio de puntos igualmente espaciados.

Tenemos que, las ordenadas de dichos puntos son:

En cada intervalo (xi, xi+1) se sustituye la función f(x) por la recta que une los puntos (xi, yi) y (xi+1, yi+1) tal como se aprecia en la figura.

El área total aproximada es la suma de las áreas de los n pequeños trapecios de anchura h:

o bien, agrupando términos.

Cuanto mayor sea el número de divisiones del intervalo [a, b] que hagamos, menor será h, y más nos aproximaremos al valor exacto de la integral. Sin embargo, no podremos disminuir h tanto como queramos, ya que el ordenador maneja números de precisión limitada.

Información recuperada de:

• García Ángel.(2001).curso java.s/n.Recuperado de:http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/integracion/trapecio/trapecio.htm

• Jorge Román(s/n). geogebra. s/n. Recuperado de: https://www.geogebra.org/m/qfsWGKKp

Investigación hecha por Daniela Paola Martínez Ramírez y Cesar Emilio Landero Montero, Video narrado por Abel Francisco Méndez Acuña.